VM2D::BoundaryConstLayerAver Class Reference

Класс, определяющий способ удовлетворения граничного условия на обтекаемом профиле More...

#include <Boundary2DConstLayerAver.h>

Inheritance diagram for VM2D::BoundaryConstLayerAver:

Collaboration diagram for VM2D::BoundaryConstLayerAver:

Public Member Functions
	BoundaryConstLayerAver (const World2D &W_, size_t numberInPassport_)
	Конструктор
virtual	~BoundaryConstLayerAver ()
	Деструктор
virtual void	FillMatrixSelf (Eigen::MatrixXd &matr, Eigen::VectorXd &lastLine, Eigen::VectorXd &lactCol) override
	Генерация блока матрицы
virtual void	FillIQSelf (std::pair< Eigen::MatrixXd, Eigen::MatrixXd > &IQ) override
	Генерация блока матрицы, состоящей из интегралов от (r-xi)/|r-xi|^2, влияние профиля самого на себя
virtual void	FillMatrixFromOther (const Boundary &otherBoundary, Eigen::MatrixXd &matr) override
	Генерация блока матрицы влияния от другого профиля того же типа
virtual void	FillIQFromOther (const Boundary &otherBoundary, std::pair< Eigen::MatrixXd, Eigen::MatrixXd > &IQ) override
	Генерация блока матрицы, состоящей из интегралов от (r-xi)/|r-xi|^2, влияние одного профиля на другой
virtual void	SolutionToFreeVortexSheetAndVirtualVortex (const Eigen::VectorXd &sol) override
	Пересчет решения на интенсивность вихревого слоя и на рождаемые вихри на конкретном профиле
virtual void	CalcConvVelocityToSetOfPointsFromSheets (const WakeDataBase &pointsDb, std::vector< Point2D > &velo) const override
	Вычисление конвективных скоростей в наборе точек, вызываемых наличием слоев вихрей и источников на профиле
virtual void	ComputeAttachedSheetsIntensity () override
	Вычисление интенсивностей присоединенного вихревого слоя и присоединенного слоя источников
virtual void	GetInfluenceFromVorticesToRectPanel (size_t panel, const Vortex2D *ptr, ptrdiff_t count, std::vector< double > &wakeRhs) const override
	Вычисление влияния части подряд идущих вихрей из вихревого следа на прямолинейную панель для правой части
virtual void	GetInfluenceFromSourcesToRectPanel (size_t panel, const Vortex2D *ptr, ptrdiff_t count, std::vector< double > &wakeRhs) const override
	Вычисление влияния части подряд источников из области течения на прямолинейную панель для правой части
virtual void	GetInfluenceFromVortexSheetAtRectPanelToVortex (size_t panel, const Vortex2D &vtx, Point2D &vel) const override
	Вычисление влияния вихревых слоев (свободный + присоединенный) конкретной прямолинейной панели на вихрь в области течения ///.
virtual void	GetInfluenceFromSourceSheetAtRectPanelToVortex (size_t panel, const Vortex2D &ptr, Point2D &vel) const override
	Вычисление влияния слоя источников конкретной прямолинейной панели на вихрь в области течения
virtual void	GetInfluenceFromVInfToRectPanel (std::vector< double > &vInfRhs) const override
	Вычисление влияния набегающего потока на прямолинейную панель для правой части
size_t	GetUnknownsSize () const
	Возврат размерности вектора решения

Public Attributes
const Airfoil &	afl
int	minVortexPerPanel
	Минимальное число вихрей, рождаемых на панели профиля и формирующих виртуальный вихревой след
std::vector< std::pair< int, int > >	vortexBeginEnd
	Номера первого и последнего вихрей, рождаемых на каждой панели профиля (формируется после решения СЛАУ)
VirtualWake	virtualWake
	Виртуальный вихревой след конкретного профиля
size_t	sheetDim
	Размерность параметров каждого из слоев на каждой из панелей
Sheet	sheets
	Слои на профиле
Sheet	oldSheets
	Слои на профиле с предыдущего шага

Protected Attributes
const World2D &	W
	Константная ссылка на решаемую задачу
const size_t	numberInPassport
	Номер профиля в паспорте

Detailed Description

Класс, определяющий способ удовлетворения граничного условия на обтекаемом профиле

Способ удовлетворения граничного условия:

• генерация вихревого слоя постоянной интенсивности на панелях;
• условие ортогональности невязки граничного условия константе (выполнение граничного условия в среднем по панели).

Author

Марчевский Илья Константинович

Сокол Ксения Сергеевна

Рятина Евгения Павловна

Колганова Александра Олеговна

Version

1.14

Date

6 марта 2026 г.

Definition at line 65 of file Boundary2DConstLayerAver.h.

Constructor & Destructor Documentation

BoundaryConstLayerAver()

VM2D::BoundaryConstLayerAver::BoundaryConstLayerAver ( const World2D &  W_, size_t  numberInPassport_  )

inline

Конструктор

Parameters

[in]	W_	константная ссылка на решаемую задачу
[in]	numberInPassport_	номер профиля в паспорте задачи

Definition at line 74 of file Boundary2DConstLayerAver.h.

                                                                            :
            Boundary(W_, numberInPassport_, 1) {};

~BoundaryConstLayerAver()

virtual VM2D::BoundaryConstLayerAver::~BoundaryConstLayerAver ( )

inlinevirtual

Деструктор

Definition at line 78 of file Boundary2DConstLayerAver.h.

{};

Member Function Documentation

CalcConvVelocityToSetOfPointsFromSheets()

void BoundaryConstLayerAver::CalcConvVelocityToSetOfPointsFromSheets ( const WakeDataBase &  pointsDb, std::vector< Point2D > &  velo  ) const

overridevirtual

Вычисление конвективных скоростей в наборе точек, вызываемых наличием слоев вихрей и источников на профиле

Вычисляет конвективные скорости в наборе точек, которые вызваны влиянием слоев вихрей и источников на профиле

Parameters

[in]	pointsDb	константная ссылка на базу данных вихрей, в точках которых вычисляются скорости
[out]	velo	ссылка на вектор скоростей, которые приобретают точки из-за влияния слоев вихрей и источников на профиле

Warning

velo — накапливается!

Todo:

сделать вызов функции GetInfluenceFromVortexSheetAtRectPanelToVortex

Todo:

Тут надо разобраться, как должно быть...

Todo:

Todo:

сделать if(move || deform)

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 158 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{   
    std::vector<Point2D> selfVelo(pointsDb.vtx.size());
    
    double cft = IDPI;
 
#pragma warning (push)
#pragma warning (disable: 4101)
    //Локальные переменные для цикла
    Point2D velI;
    Point2D tempVel;
#pragma warning (pop)
 
#pragma omp parallel for default(none) shared(selfVelo, cft, pointsDb, std::cout) private(velI, tempVel)
    for (int i = 0; i < pointsDb.vtx.size(); ++i)
    {
 
        velI.toZero();
 
        const Point2D& posI = pointsDb.vtx[i].r();
        
        for (size_t j = 0; j < sheets.getSheetSize(); ++j)
        {
            Point2D dj = afl.getR(j + 1) - afl.getR(j);
            Point2D tauj = dj.unit();
 
            Point2D s = posI - afl.getR(j);
            Point2D p = posI - afl.getR(j + 1);
 
            double a = VMlib::Alpha(p, s);
 
            double lambda;
            if ( (s.length2() > 1e-16) && (p.length2() > 1e-16) )
                lambda = VMlib::Lambda(p, s);
            else
                lambda = 0.0;
 
            Point2D skos = -a * tauj.kcross() + lambda * tauj;
 
            velI += sheets.freeVortexSheet(j, 0) * skos.kcross();
            velI += sheets.attachedVortexSheet(j, 0) * skos.kcross();
            velI += sheets.attachedSourceSheet(j, 0) * skos;
        }//for j
        
        velI *= cft;
        selfVelo[i] = velI;
    }//for i
        
    for (size_t i = 0; i < velo.size(); ++i)
        velo[i] += selfVelo[i];
}//CalcConvVelocityToSetOfPointsFromSheets(...)

Here is the call graph for this function:

ComputeAttachedSheetsIntensity()

void BoundaryConstLayerAver::ComputeAttachedSheetsIntensity ( )

overridevirtual

Вычисление интенсивностей присоединенного вихревого слоя и присоединенного слоя источников

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 275 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
 
    for (size_t i = 0; i < sheets.getSheetSize(); ++i)
    {
        oldSheets.attachedVortexSheet(i, 0) = sheets.attachedVortexSheet(i, 0);
        oldSheets.attachedSourceSheet(i, 0) = sheets.attachedSourceSheet(i, 0);
    }
 
    for (size_t i = 0; i < sheets.getSheetSize(); ++i)
    {
        sheets.attachedVortexSheet(i, 0) = 0.5 * (afl.getV(i) + afl.getV(i + 1)) & afl.tau[i];
        sheets.attachedSourceSheet(i, 0) = 0.5 * (afl.getV(i) + afl.getV(i + 1)) & afl.nrm[i];
    }   
}//ComputeAttachedSheetsIntensity()

Here is the call graph for this function:

FillIQFromOther()

void BoundaryConstLayerAver::FillIQFromOther ( const Boundary &  otherBoundary, std::pair< Eigen::MatrixXd, Eigen::MatrixXd > &  IQ  )

overridevirtual

Генерация блока матрицы, состоящей из интегралов от (r-xi)/|r-xi|^2, влияние одного профиля на другой

Генерирует блок матрицы влияния от другого профиля того же типа

Parameters

[in]	otherBoundary	константная ссылка на граничное условие на втором профиле
[out]	IQ	ссылка на пару матриц, выражающих взаимные влияния (касательные и нормальные) панелей профиля

Todo:

Пока считается, что граничные условия одинаковые

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 151 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    afl.calcIQ(1, otherBoundary.afl, IQ);
}//FillIQFromOther(...)

Here is the call graph for this function:

FillIQSelf()

void BoundaryConstLayerAver::FillIQSelf ( std::pair< Eigen::MatrixXd, Eigen::MatrixXd > &  IQ )

overridevirtual

Генерация блока матрицы, состоящей из интегралов от (r-xi)/|r-xi|^2, влияние профиля самого на себя

Parameters

[out]

IQ

ссылка на генерируемую матрицу

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 137 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    afl.calcIQ(1, afl, IQ);
}//FillIQSelf(...)

Here is the call graph for this function:

FillMatrixFromOther()

void BoundaryConstLayerAver::FillMatrixFromOther ( const Boundary &  otherBoundary, Eigen::MatrixXd &  matr  )

overridevirtual

Генерация блока матрицы влияния от другого профиля того же типа

Генерирует блок матрицы влияния от другого профиля того же типа

Parameters

[in]	otherBoundary	константная ссылка на граничное условие на втором профиле
[out]	matr	ссылка на генерируемый блок матрицы

Todo:

Пока считается, что граничные условия одинаковые

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 143 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    for (size_t i = 0; i < afl.getNumberOfPanels(); ++i)
    for (size_t j = 0; j < otherBoundary.afl.getNumberOfPanels(); ++j)
        matr(i, j) = afl.getA(1, i, otherBoundary.afl, j)[0];
}//FillMatrixFromOther(...)

Here is the call graph for this function:

FillMatrixSelf()

void BoundaryConstLayerAver::FillMatrixSelf ( Eigen::MatrixXd &  matr, Eigen::VectorXd &  lastLine, Eigen::VectorXd &  lactCol  )

overridevirtual

Генерация блока матрицы

Генерирует следующие компоненты матрицы:

• диагональный блок матрицы — влияние данного профиля на самого себя;
• нижнюю строку для матрицы для данного профиля;
• правый столбец матрицы для данного профиля.

Parameters

[out]	matr	ссылка на генерируемую матрицу
[out]	lastLine	ссылка на нижнюю строку
[out]	lactCol	ссылка на правый столбец

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 121 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    size_t np = afl.getNumberOfPanels();
        
    for (size_t i = 0; i < np; ++i)
    {
        lactCol(i) = 1.0;
        lastLine(i) = afl.len[i];
    }
 
    for (size_t i = 0; i < np; ++i)
    for (size_t j = 0; j < np; ++j)
        matr(i, j) = afl.getA(1, i, afl, j)[0];
 
}//FillMatrixSelf(...)

Here is the call graph for this function:

GetInfluenceFromSourceSheetAtRectPanelToVortex()

void BoundaryConstLayerAver::GetInfluenceFromSourceSheetAtRectPanelToVortex ( size_t  panel, const Vortex2D &  vtx, Point2D &  vel  ) const

overridevirtual

Вычисление влияния слоя источников конкретной прямолинейной панели на вихрь в области течения

Parameters

[in]	panel	номер панели профиля, от которой считается влияние
[in]	vtx	ссылка на вихрь
[out]	vel	ссылка на вектор полученной скорости

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 344 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{       
    vel.toZero();
 
    const Point2D& posI = ptr.r();
 
    Point2D dj = afl.getR(panel + 1) - afl.getR(panel);
    Point2D tauj = dj.unit();
 
    Point2D s = posI - afl.getR(panel);
    Point2D p = posI - afl.getR(panel + 1);
 
    double a = VMlib::Alpha(p, s);
 
    double lambda;
    if ((s.length2() > 1e-16) && (p.length2() > 1e-16))
        lambda = VMlib::Lambda(p, s);
    else
        lambda = 0.0;
 
    vel += sheets.attachedSourceSheet(panel, 0) * (-a * tauj.kcross() + lambda * tauj);
}// GetInfluenceFromSourceSheetAtRectPanelToVortex(...)

Here is the call graph for this function:

GetInfluenceFromSourcesToRectPanel()

void BoundaryConstLayerAver::GetInfluenceFromSourcesToRectPanel ( size_t  panel, const Vortex2D *  ptr, ptrdiff_t  count, std::vector< double > &  wakeRhs  ) const

overridevirtual

Вычисление влияния части подряд источников из области течения на прямолинейную панель для правой части

Вычисляет влияния части подряд идущих источников из области течения на прямолинейную панель для правой части

Parameters

[in]	panel	номер панели профиля, на которую считается влияние
[in]	ptr	указатель на начало диапазона источников
[in]	count	длина диапазона источников
[out]	wakeRhs	ссылка на вектор полученных влияние для правой части СЛАУ

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 320 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    double& velI = wakeRhs[0];
 
    const Point2D& posI0 = afl.getR(panel);
    const Point2D& posI1 = afl.getR(panel + 1);
 
    for (size_t it = 0; it != count; ++it)
    {
        const Vortex2D& vt = ptr[it];
        const Point2D& posJ = vt.r();
        const double& gamJ = vt.g();
 
        Point2D s = posJ - posI0;
        Point2D p = posJ - posI1;
 
        double lambda = VMlib::Lambda(p, s);
 
        velI -= gamJ * lambda;
    }
}// GetInfluenceFromSourcesToRectPanel(...)

Here is the call graph for this function:

GetInfluenceFromVInfToRectPanel()

void BoundaryConstLayerAver::GetInfluenceFromVInfToRectPanel ( std::vector< double > &  vInfRhs ) const

overridevirtual

Вычисление влияния набегающего потока на прямолинейную панель для правой части

Вычисляет влияния набегающего потока на прямолинейную панель для правой части

Parameters

[out]

vInfRhs

ссылка на вектор полученных влияние для правой части СЛАУ

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 396 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    size_t np = afl.getNumberOfPanels();    
    vInfRhs.resize(np);
 
#pragma omp parallel for default(none) shared(vInfRhs, np)
    for (int i = 0; i < np; ++i)
        vInfRhs[i] = afl.tau[i] & W.getV0();    
 
}

Here is the call graph for this function:

GetInfluenceFromVortexSheetAtRectPanelToVortex()

void BoundaryConstLayerAver::GetInfluenceFromVortexSheetAtRectPanelToVortex ( size_t  panel, const Vortex2D &  vtx, Point2D &  vel  ) const

overridevirtual

Вычисление влияния вихревых слоев (свободный + присоединенный) конкретной прямолинейной панели на вихрь в области течения ///.

Parameters

[in]	panel	номер панели профиля, от которой считается влияние
[in]	vtx	ссылка на вихрь
[out]	vel	ссылка на вектор полученной скорости

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 368 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    vel.toZero();
 
    const Point2D& posI = ptr.r();
 
    Point2D dj = afl.getR(panel + 1) - afl.getR(panel);
    Point2D tauj = dj.unit();
 
    Point2D s = posI - afl.getR(panel);
    Point2D p = posI - afl.getR(panel + 1);
    double a = VMlib::Alpha(p, s);
 
    double lambda;
    if ((s.length2() > 1e-16) && (p.length2() > 1e-16))
        lambda = VMlib::Lambda(p, s);
    else
        lambda = 0.0;
 
    Point2D skos = -a * tauj.kcross() + lambda * tauj;
 
    vel += sheets.freeVortexSheet(panel, 0) * skos.kcross();
    vel += sheets.attachedVortexSheet(panel, 0) * skos.kcross();
 
}// GetInfluenceFromVortexSheetAtRectPanelToVortex(...)

Here is the call graph for this function:

GetInfluenceFromVorticesToRectPanel()

void BoundaryConstLayerAver::GetInfluenceFromVorticesToRectPanel ( size_t  panel, const Vortex2D *  ptr, ptrdiff_t  count, std::vector< double > &  wakeRhs  ) const

overridevirtual

Вычисление влияния части подряд идущих вихрей из вихревого следа на прямолинейную панель для правой части

Вычисляет влияния части подряд идущих вихрей из вихревого следа на прямолинейную панель для правой части

Parameters

[in]	panel	номер панели профиля, на которую считается влияние
[in]	ptr	указатель на начало диапазона вихрей
[in]	count	длина диапазона вихрей
[out]	wakeRhs	ссылка на вектор полученных влияние для правой части СЛАУ

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 293 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    double& velI = wakeRhs[0];
 
    const Point2D& posI0 = afl.getR(panel);
    const Point2D& posI1 = afl.getR(panel + 1);
 
 
    for (size_t it = 0; it != count; ++it)
    {
        const Vortex2D& vt = ptr[it];
 
        const Point2D& posJ = vt.r();
        const double& gamJ = vt.g();
 
        Point2D s = posJ - posI0;
        Point2D p = posJ - posI1;
 
        double alpha = VMlib::Alpha(p, s);
 
        velI -= gamJ * alpha;
    }
}// GetInfluenceFromVorticesToRectPanel(...)

Here is the call graph for this function:

GetUnknownsSize()

size_t Boundary::GetUnknownsSize ( ) const

inherited

Возврат размерности вектора решения

(без учета регуляризирующей переменной)

Returns

размерность вектора решения

Definition at line 74 of file Boundary2D.cpp.

{
    return sheetDim * afl.getNumberOfPanels();
}

Here is the call graph for this function:

Here is the caller graph for this function:

SolutionToFreeVortexSheetAndVirtualVortex()

void BoundaryConstLayerAver::SolutionToFreeVortexSheetAndVirtualVortex ( const Eigen::VectorXd &  sol )

overridevirtual

Пересчет решения на интенсивность вихревого слоя и на рождаемые вихри на конкретном профиле

1) Приводит решение к интенсивности вихревого слоя и записывает его в sheets.freeVortexSheet:

• если неизвестное — интенсивность вихря, то он "размазывается" по панели;
• если неизвестное — интенсивность слоя, то она передается непосредственно.

2) Приводит интенсивность вихревого слоя к рождаемым вихрям, а также вычисляет их положения

Parameters

[in]

sol

вектор решения СЛАУ

Implements VM2D::Boundary.

Definition at line 57 of file Boundary2DConstLayerAver.cpp.

{
    Vortex2D virtVort;
    Point2D midNorm;
 
    size_t np = afl.getNumberOfPanels();
 
    double delta = W.getPassport().wakeDiscretizationProperties.delta;
    
    int nVortPerPan = W.getPassport().wakeDiscretizationProperties.minVortexPerPanel;
 
    //Очистка и резервирование памяти
    virtualWake.vecHalfGamma.clear();
    virtualWake.vecHalfGamma.reserve(np * nVortPerPan);
 
    //Очистка и резервирование памяти
    virtualWake.aflPan.clear();
    virtualWake.aflPan.reserve(np * nVortPerPan);
 
    //Резервирование памяти
    virtualWake.vtx.clear();
    virtualWake.vtx.reserve(np * nVortPerPan);
 
    //Очистка и резервирование памяти
    vortexBeginEnd.clear();
    vortexBeginEnd.reserve(np);
 
    double maxG = W.getPassport().wakeDiscretizationProperties.maxGamma;
 
    std::pair<int, int> pair; 
 
    for (size_t i = 0; i < np; ++i)
    {
        midNorm = afl.nrm[i] * delta;
 
        size_t NEWnVortPerPan = (size_t)std::max((int)std::ceil(fabs(sol(i) * afl.len[i]) / maxG), nVortPerPan);
        
        pair.first = (int)virtualWake.vtx.size();
 
 
        Point2D dr = 1.0 / NEWnVortPerPan * (afl.getR(i + 1) - afl.getR(i));
 
        for (size_t j = 0; j < NEWnVortPerPan; ++j)
        {
            virtVort.r() = afl.getR(i) + dr * (j * 1.0 + 0.5) + midNorm;
            virtVort.g() = sol(i) * afl.len[i] / NEWnVortPerPan;
            virtualWake.vtx.push_back(virtVort);
 
            virtualWake.vecHalfGamma.push_back(0.5 * sol(i)  * afl.tau[i]);
            virtualWake.aflPan.push_back({ numberInPassport, i });
        }
 
        pair.second = (int)virtualWake.vtx.size();
        vortexBeginEnd.push_back(pair);
    }
    
 
    for (size_t j = 0; j < np; ++j)
        sheets.freeVortexSheet(j, 0) = sol(j);
        
}//SolutionToFreeVortexSheetAndVirtualVortex(...)

Here is the call graph for this function:

Member Data Documentation

afl

const Airfoil& VM2D::Boundary::afl

inherited

Константная ссылка на профиль
инициализируется автоматом в конструкторе

Definition at line 77 of file Boundary2D.h.

minVortexPerPanel

int VM2D::Boundary::minVortexPerPanel

inherited

Минимальное число вихрей, рождаемых на панели профиля и формирующих виртуальный вихревой след

Definition at line 80 of file Boundary2D.h.

numberInPassport

const size_t VM2D::Boundary::numberInPassport

protectedinherited

Номер профиля в паспорте

Definition at line 71 of file Boundary2D.h.

oldSheets

Sheet VM2D::Boundary::oldSheets

inherited

Слои на профиле с предыдущего шага

Definition at line 99 of file Boundary2D.h.

sheetDim

size_t VM2D::Boundary::sheetDim

inherited

Размерность параметров каждого из слоев на каждой из панелей

Указывает, сколькими числами задается интенсивность каждого из слоев на каждой панели:

• 1 — одно число — задается только среднее значение;
• 2 — два числа — задается среднее значение и "наклон".

Definition at line 93 of file Boundary2D.h.

sheets

Sheet VM2D::Boundary::sheets

inherited

Слои на профиле

Definition at line 96 of file Boundary2D.h.

virtualWake

VirtualWake VM2D::Boundary::virtualWake

inherited

Виртуальный вихревой след конкретного профиля

Definition at line 86 of file Boundary2D.h.

vortexBeginEnd

std::vector<std::pair<int, int> > VM2D::Boundary::vortexBeginEnd

inherited

Номера первого и последнего вихрей, рождаемых на каждой панели профиля (формируется после решения СЛАУ)

Definition at line 83 of file Boundary2D.h.

W

const World2D& VM2D::Boundary::W

protectedinherited

Константная ссылка на решаемую задачу

Definition at line 68 of file Boundary2D.h.

---

The documentation for this class was generated from the following files:

• VM2D/Boundary2D/Boundary2DConstLayerAver.h
• VM2D/Boundary2D/Boundary2DConstLayerAver.cpp